Question

已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28．（1）求数列{an}的通项公式

已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求使不等式(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥a2n+1对一切n∈N*均成立的最大实数a；（3）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设{a_n}的公差为d，由题意d＞0，且

a1+2d＝5 (a1+3d)(2a1+d)＝28

（2分）
a₁=1，d=2，数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（4分）
（2）由题意a≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

an

)对n∈N*均成立（5分）
记F(n)＝

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

an

)
则

F(n+1)

F(n)

＝

2n+2

(2n+1)(2n+3)

＝

2(n+1)

4(n+1)2?1

＞

2(n+1)

2(n+1)

＝1
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），∴F（n）随n增大而增大（8分）
∴F（n）的最小值为F(1)＝

2 3

3

∴a≤

2 3

3

，即a的最大值为

2 3

3

（9分）
（3）∵a_n=2n-1
∴在数列{b_n}中，a_m及其前面所有项之和为[1+3+5++（2m-1）]+（2+2²++2^m-1）=m²+2^m-2（11分）
∵10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2156，即a₁₀＜2008＜a₁₁（12分）
又a₁₀在数列{b_n}中的项数为：10+1+2++2⁸=521（14分）
且2008-1122=886=443×2，
所以存在正整数m=521+443=964使得S_m=2008（16分）