(2013?潮州二模)如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=13DB,点C为圆O上一点,且BC=3
(2013?潮州二模)如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=13DB,点C为圆O上一点,且BC=3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=...
(2013?潮州二模)如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=13DB,点C为圆O上一点,且BC=3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB.(1)求证:PA⊥CD;(2)求二面角C-PB-A的余弦值.
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语昳VF
2014-08-17
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解答:解析:(1)连接OC,由AD=
BD知,点D为AO的中点,
又∵AB为圆的直径,∴AC⊥BC,
∵
AC=BC,∴∠CAB=60°,
∴△ACO为等边三角形,∴CD⊥AO.
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D,
∴PD⊥平面ABC,又CD?平面ABC,
∴PD⊥CD,PD∩AO=D,
∴CD⊥平面PAB,PA?平面PAB,
∴PA⊥CD.
(2)过点D作DE⊥PB,垂足为E,连接CE,
由(1)知CD⊥平面PAB,又PB?平面PAB,
∴CD⊥PB,又DE∩CD=D,
∴PB⊥平面CDE,又CE?平面CDE,
∴CE⊥PB,
∴∠DEC为二面角C-PB-A的平面角.
由(1)可知CD=
,PD=BD=3,
∴PB=3
,则DE=
=
,
∴在Rt△CDE中,tan∠DEC=
=
,
∴cos∠DEC=
,即二面角C-PB-A的余弦值为
.
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