Question

矩阵A和B的秩相同能否推出Ax=0与Bx=0同解？为什么？

如果成立，能否给出证明？

Answer 1

不行，比如：

A=

1 0

0 0

B=

0 1

0 0

ker(A')和ker(AA')有包含关系，所以只要看维数就行了，ker的维数和秩有直接联系。

两个矩阵秩相同不可以说明两个矩阵等价。

矩阵秩相同只是两个矩阵等价的必要条件；两个矩阵秩相同可以说明两个矩阵等价的前提是必须有相同的行数和列数，即同型。

A，B矩阵同型（行数列数相同）时，有以下等价结论：

【r(A)=r(B)】 等价于 【A、B矩阵等价】 等价于 【PAQ=B，其中P、Q可逆】。

A与B等价 ←→ A经过初等变换得到B ←→ PAQ=B，其中P，Q可逆 ←→ r(A)=r(B)，且A与B是同型矩阵。

Answer 2

当然不行，比如
A=
1 0
0 0
B=
0 1
0 0

追问

矩阵论书上证明中有：假设A'是A的减号逆，由rank(AA')=rank(A)=rank(A'),得出AA'x=0和A'x=0同解，因此A'(E-AA')=0
这是怎么得出来的呀？

追答

ker(A')和ker(AA')有包含关系，所以只要看维数就行了，ker的维数和秩有直接联系