Question

在△ABC中，AB=AC， P为△ABC内一点，且∠BAP=70°，∠ABP=40°，连接PC,当∠PCB=30°时，求∠PBC的度数

Answer 1

因为，∠BPA = 180°-∠BAP-∠ABP = 70° = ∠BAP ，
所以，BA = BP ，可得：△ABP是等腰三角形；
过点A作AD⊥BC于D，交CP延长线于O，连接OB；
过点B作BE⊥CP于E，则点E在CO延长线上；
AD是等腰△ABC底边上的高，可得：AD是BC的垂直平分线，
而且O在AD上，可得：OB = OC ，
∠OBC = ∠OCB = 30° ，
∠CBE = 90°-∠OCB = 60° ，
∠OBE = ∠CBE-∠OBC = 30° ；
因为，在△OBD和△OBE中，∠ODB = 90° = ∠OEB ，∠OBD = 30° = ∠OBE ，OB = OB ，
所以，△OBD ≌ △OBE ，
可得：OD = OE ，BD = BE ；
因为，在Rt△ABD和Rt△PBE中，AB = PB ，BD = BE ，
所以，△ABD ≌ △PBE ，
可得：AD = PE ；
因为，在△BOA和△BOP中，OA = AD-OD = PE-OE = OP ，BA = BP ，OB = OB ，
所以，△BOA ≌ △BOP ，
可得：∠OBA = ∠OBP = ½∠ABP = 20° ，
所以，∠PBC = ∠OBC-∠OBP = 10° 。