Question

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2，DC=3，AD=7，动点P在梯形边AB、BC上，当梯形某两个

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2，DC=3，AD=7，动点P在梯形边AB、BC上，当梯形某两个顶点和动点P能构成直角三角形时，点P到AD之距离记为d，则d为______．

Answer 1

①点P在AB上时，△APD是直角三角形，点A是直角顶点，
∵AB=2，
∴d=AP，0＜d≤2；
当点P与点A重合时，△PDC即△ADC是直角三角形，点D是直角顶点．此时d=ap=0，
综上所述，0≤d≤2．
②如图1，点P在BC上时，△APD是直角三角形，
过点P作AD的平行线与AB的延长线相交于点E，与CD相交于点F，
则四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=7，AE=DF=d，
∵∠APD=90°，
∴∠APE+∠DPF=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，
∴∠DPF=∠PAE，
又∵∠E=∠PFD=90°，
∴△APE∽△PDF，
∴

AE

PF

=

PE

DF

，
设PE=x，则PF=7-x，
∴

d

7?x

=

x

d

，
∴d²=-x²+7x，
∵AE∥CD，
∴

EB

CF

=

PE

PF

，
即

d?2

3?d

=

x

7?x

，
∴x=7d-14，
联立

x＝7d?14 d2＝?x2+7x

，
消掉x得，50d²-245d+294=0，
解得d₁=

14

5

，d₂=

21

10

；
③如图2，点P在BC上时，△CDP是直角三角形，
过点B作BE⊥CD于E，过点P作PF⊥AD于F，
则CE=3-2=1，BE=AD=7，
在Rt△BCE中，BC=

BE2+CE2

=

72+12

=5

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