Question

（2014?海淀区二模）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE

（2014?海淀区二模）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5，sinF=35时，求BD的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠1．
又∵∠4=2∠1，
∴∠4=∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；

（2）解：连结AD．
在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sinF=

3

5

，
∴BE=BF?sinF=3．
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴

FB

FO

＝

BE

OC

．
设⊙O的半径为r，
∴

5

5+r

＝

3

r

，
∴r＝

15

2

．
∵AB为⊙O直径，
∴AB=15，∠ADB=90°，
∵∠4=∠EBF，
∴∠F=∠BAD，
∴sin∠BAD＝

BD

AB

＝sinF＝

3

5

，
∴

BD

15

＝

3

5

，
∴BD=9．