（2014?海淀区二模）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE
（2014?海淀区二模）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（...
（2014?海淀区二模）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5，sinF=35时，求BD的长．
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解答：（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠1．
又∵∠4=2∠1，
∴∠4=∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：连结AD．
在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sinF=
，
∴BE=BF?sinF=3．
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴
＝
．
设⊙O的半径为r，
∴
＝
，
∴r＝
．
∵AB为⊙O直径，
∴AB=15，∠ADB=90°，
∵∠4=∠EBF，
∴∠F=∠BAD，
∴sin∠BAD＝
＝sinF＝
，
∴
＝
，
∴BD=9．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠1．
又∵∠4=2∠1，
∴∠4=∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；（2）解：连结AD．
在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sinF=
| 3 |
| 5 |
∴BE=BF?sinF=3．
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴
| FB |
| FO |
| BE |
| OC |
设⊙O的半径为r，
∴
| 5 |
| 5+r |
| 3 |
| r |
∴r＝
| 15 |
| 2 |
∵AB为⊙O直径，
∴AB=15，∠ADB=90°，
∵∠4=∠EBF，
∴∠F=∠BAD，
∴sin∠BAD＝
| BD |
| AB |
| 3 |
| 5 |
∴
| BD |
| 15 |
| 3 |
| 5 |
∴BD=9．
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