Question

（2009?卢湾区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB＝45，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂

（2009?卢湾区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB＝45，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．（1）当tan∠BCD＝12时，求线段BF的长；（2）当点F在边BC上时，设AD=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；（3）当BF＝54时，求线段AD的长．

Answer 1

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB＝

4

5

，
∴BC=4，AC=3，（1分）
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD（2分）
∴tan∠CAF＝tan∠BCD＝

1

2

，
又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF=

3

2

，BF=

5

2

（1分）

（2）过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，（1分）

∴

BG

AC

＝

BD

AD

，即

BG

3

＝

(5?x)

x

①（1分）
在Rt△ACF与Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF=tan∠BCD，

∴

BG

BC

＝

CF

AC

，即

BG

4

＝

(4?y)

3

，②（1分）
由①②得

4(4?y)

3

＝

3(5?x)

x

，y＝

25x?45

4x

＝

25

4

?

45

4x

(

9

5

≤x≤5)（2分）

（3）1°当点F在线段BC上时，
把y＝

5

4

代入y＝

25

4

?

45

4x

解得x＝

9

4

，（2分）
2°当点F在CB延长线上时，
设AD=x，由（2）同理可得

4(4+ 5 4 )

3

＝

3(5?x)

x

，解得x＝

3

2

（2分）
综上所述当BF＝

5

4

时，线段AD的长为

9

4

或

3

2

（1分）