Question

已知{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若a3是a1、a9的等比中项，且S5=15．（Ⅰ）求数列{an}的

已知{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若a3是a1、a9的等比中项，且S5=15．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{1a2n}的前n项和Tn，求证：Tn＜2．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：设数列{a_n}的公差为d（d≠0），则
∵a₃是a₁、a₉的等比中项，S₅=15，
∴

(a1+2d)2＝a1(a1+8d) 5a1+10d＝15

，∴a₁=d=1
∴a_n=n；
（Ⅱ）证明：n=1时，T_n=1＜2；
n≥2时，T_n=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+…+

1

(n?1)n

=1+1-

1

2

+…+

1

n?1

-

1

n

=2-

1

n

＜2
综上，T_n＜2．