Question

已知函数f(x)＝23sinxcosx+2cos2x?1(x∈R)；（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；（2）求函

已知函数f(x)＝23sinxcosx+2cos2x?1(x∈R)；（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

Answer 1

f(x)＝2

3

sinxcosx+2cos2x?1，得f(x)＝

3

(2sinxcosx)+(2cos2x?1)＝

3

sin2x+cos2x＝2sin(2x+

π

6

)
（1）T＝

2π

2

＝π，所以函数f（x）的最小正周期为π；
由2kπ?

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ?

π

3

≤x≤

π

6

+kπ
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ?

π

3

，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]则sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为2，此时x=

π

6

，最小值为-1，此时x=

π

2