Question

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．（1）求函数g（x）的定义域；（2）

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．（1）求函数g（x）的定义域；（2）若f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g（x）≤0的解集．

Answer 1

（1）∵数f（x）的定义域为（-2，2），函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x）． ∴ -2＜x-1＜2 -2＜3-2x＜2 ，∴ 1 2 ＜x＜ 5 2 ，函数g（x）的定义域（ 1 2 ， 5 2 ）． （2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0， ∴f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），∴ -2＜x-1＜2 -2＜2x-3＜2 x-1≥2x-3 ，∴ 1 2 ＜x≤2， 故不等式g（x）≤0的解集是 （ 1 2 ，2]．

Answer 2

∵x-1∈(-2,2)
且3-2x∈(-2,2)
∴x∈(-1,3)
且x∈(1/2,5/2)
即x∈
(1/2,5/2)
g(x)
≤
0
即f(x-1)+f(3-2x)
≤
0
∴f(x-1)≤-f(3-2x)
又f(x)是奇函数
∴-f(3-2x)=f(2x-3)
∴f(x-1)≤f(2x-3)
又f(x)单调递增
∴x-1≤2x
-3
解得x≥2
又由定义域x∈(1/2,5/2)
∴x∈[2,5/2)