Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=63a，

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD．

Answer 1

解：在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，
在AB上取点F，使AF=EG，则F即为所求作的点．
∵EG∥CD∥AF，EG=AF，
∴四边形FEGA为平行四边形，
∴FE∥AG．
又AG?平面PAD，FE?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
又在Rt△BCE中，
CE=

BC2?BE2

=

3a2

=

3

3

a．
在Rt△PBC中，BC²=CE?CP
∴CP=

a2

3 3 a

=

3

a．又

EG

CD

=

PE

PC

，
∴EG=

PE

PC

?CD=

2

3

a，
∴AF=EG=

2

3

a．
∴点F为AB的一个三等分点．