Question

已知函数f（x）=ax2-lnx（a为常数）．（1）当a＝12时，求f（x）的单调递减区间；（2）若a＜0，且对任意的

已知函数f（x）=ax2-lnx（a为常数）．（1）当a＝12时，求f（x）的单调递减区间；（2）若a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）对于函数y=

1

2

x²-lnx，易得其定义域为{x|x＞0}，
y′=x-

1

x

=

x2?1

x

，
令

x2?1

x

≤0，
又由x＞0，则

x2?1

x

≤0?x²-1≤0，且x＞0；
解可得0＜x≤1，
即函数y=

1

2

x²-lnx的单调递减区间为（0，1]，
（2）由已知得x∈[1，e]时，f（x）≥（a-2）x恒成立，即x∈[1，e]时，ax²-lnx-（a-2）x≥0恒成立．
即a≥

lnx?2x

x2?x

，
设g（x）=

lnx?2x

x2?x

，g′（x）=

( 1 x ?2)(x2?x)?(lnx?2x)(2x?1)

(x2?x)2

，
当x＞1时，g'（x）＞0，
∴g（x）在区间（1，+∞）上递增，
∴当x∈[1，e]时，g（x）≤g（e）=

1?2e

e2?e

，
故若a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，实数a的取值范围为a≥

1?2e

e2?e

．