Question

函数奇偶性和周期性问题

设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上满足f(1)=f(3)=0.
(1)判断y=f(x)的奇偶性
(2)求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明
嘿....有没搞错,3个回答3个答案....
不是啊,我就觉得很奇怪,他只说f(1)=f(3)=0,但是没说在[0,7]上没有其他等于0的点啊
他应该要说在[0,7]上有且仅有f(1)=f(3)=0才是你那意思啊

算了题目不严谨高考卷子咋这样,那我会了谢谢!

Answer 1

这是一道高考题目的压轴题

大哥啊，我这可是卷子上的标准答案啊！

一
由于f（2-x）= f（2+x）， f（7-x）= f（7+x）
可知f（x）的对称轴为x=2和x=7，
即f（x）不是奇函数。

联立
f（2-x）= f（2+x）
f（7-x）= f（7+x）

推得f（4-x）= f（14-x）= f（x）
即f（x）=f（x+10），T=10
又 f（1）= f（3）=0 ，而f（7）≠0
故函数为非奇非偶函数。

（Ⅱ）f（x）=f（x+10），T=10
由f（4-x）= f（14-x）= f（x）
且闭区间[0，7]上只有f（1）= f（3）=0
得f（11）= f（13）=f（-7）= f（-9）= 0
即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解
则方程f（x）=0在闭区间[0，2005]上的根为402个，方程f（x）=0在闭区间[－2005，0]上的根为400个

得方程f（x）=0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数为802个

Answer 2

函数关于2，7对称，因此，是奇函数
x=1,f(1)=f(5)=0=f(3)
x=2,f(0)=f(4)
x=-x+2,f(-x)=f(-x+4)，周期为4
所以f(0)=f(3)=0,f(-1)=f(3)=0
因此，当x=n,有f(n)=0，所以有4011个根

Answer 3

1) f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),这个已知告诉我们函数图像关于
x=2 和 x=7 对称 f(1)=f(3)=0.这个已知告诉我们这个周期函数图像穿过
（1，0）（3，0）两点 划一下图就更直观了一个周期内是个倒着的抛物线
所以x=0恰在最高点（X轴下面无图像）所以是偶函数

2)先看右边2005先减去1是2004 周期是2 有1002个根 再加上（1，0）这个更
1003个再算左边是一样的因为是偶函数所以2006个根