Question

函数f=丨x+1丨+丨2x+a丨的最小值为3，求实数a的值

Answer 1

原题是:函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,求实数a的值.
解:f(x)=|x+1|+|2x+a|
=|x+1|+|x+(a/2)|+|x+(a/2)|
≥|(x+1)-(x+(a/2))|+|x+(a/2)|
=|1-(a/2)|+|x+(a/2)|
≥|1-(a/2)|=|(a/2)-1|
即 f(x)≥|(a/2)-1| 且x=-a/2时取"="
所以f(x)的最小值是|(a/2)-1|
由|a/2-1|=3解得a=-4或a=8
所以a=-4或a=8
希望能帮到你！

Answer 2

解：∵函数最小值是3
∴∣x+1∣=0, ∣2x+a∣=3
由∣x+1∣=0，得：x+1=0, x=-1
把x=-1代入∣2x+a∣=3得：
∣-2+a∣=3
∴-2+a=3 或 -2+a=-3
∴a=5 或 a=-1
答：实数a的值为5或-1.

Answer 3

1）若a>=2
当x>=-1时， f(x)=x+1+2x+a=3x+1+a, 单调增，最小值为f(-1)=a-2
当-a/2=<x<-1时，f(x)=-x-1+2x+a=x+a-1, 单调增，最小值为f(-a/2)=a/2-1
当x<-a/2时， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-1-a, 单调减，最小值为f(-a/2)=a/2-1
因a>=2时，有a-2>a/2-1, 因此f(x)最小值为a/2-1
所以a/2-1=3,得a=8
2）若a<2
当x>=-a/2时， f(x)=x+1+2x+a=3x+1+a, 单调增，最小值为f(-a/2)=-a/2+1
当-1<x<-a/2时，f(x)=x+1-2x-a=-x-a+1, 单调减，最小值为f(-a/2)=-a/2+1
当x<=-1时， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1, 单调减，最小值为f(-1)=2-a
因a<2时， -a/2+1<2-a, 因此f(x)最小值为-a/2+1
所以有-a/2+1=3,得a=-4

综合得a=8, 或-4

Answer 4

f(x)=|x+1|+|2x+a|
-a/2≤-1→a≥2,时
x≤-a/2时，f(x)=-x-1-2x-a 单调递减
-a/2≤x≤-1,f(x)=-x-1+2x+a单调递增
x≥-1时， f(x)=x+1+2x+a单调递增
∴最小值=f(-a/2)=3a/2-1-a=3→a=8
-a/2≥-1→a≤2,时
x≤-1时，f(x)=-x-1-2x-a 单调递减
-1≤x≤-a/2,f(x)=x+1-2x-a单调递减
x≥-a/2时，f(x)=x+1+2x+a单调递增
∴最小值=f(-a/2)=a/2+1-a=3→a=-4
综上：a=8或a=-4.