Question

a1=1,An+1=2An+n+1,求An

Answer 1

a(n+1)=2an+n
设{a(n+1)-[x(n+1)+y]}=2[an-(xn+y)]
……这么设是为了下面构造等比数列bn，从而求an.

与原式对照比较可得-x=1,x-y=0,所以x=-1,y=-1，
所以a(n+1)-[-(n+1)-1]}=2[an-(-n-1)
设bn=an-(-n-1)
则bn+1=a(n+1)-[x(n+1)+y]
∴bn+1=2bn,
所以数列{bn}是等比数列，公比为2，首项b1= a1-(-1-1)=3，
bn=3*2(n-1),
即an-(-n-1) =3*2(n-1),
an=3*2(n-1) -n-1。

追问

我也是这样写的，可是并不对啊

Answer 2

∵an+1=2an+n+1 ∴（an+1 + （n+1）+2 ) =2(an + n+2)
∴数列an+n+2是等比数列
∴an＋n＋2＝(a1＋1＋2)×2^(n－1)＝2^（n+1） ∴an＝2^（n+1）-n-2
∴正确答案是an＝2^（n+1）-n-2