Question

已知定义在R上的可导函数，f（x）满足2f（x）+xf‘（x）＞x²

则下列结论成立的是
A.f（x）＞x B. f（x）＜x C.f（x）＞0 D.f（x）＜0

Answer 1

解法一、因为 2f(x)+xf′(x)＞x² …………①,下面予以讨论：
（1）x= 0时,代入①得：f(0) ＞ 0
（2）x＞0 时,①的两边同乘以x ：2xf(x)+x²f′(x) ＞ x³ ,即
[x²f(x)]′＞ x³＞0,所以函数y= x²f(x）是R+上的增函数,而x＞0,
故：x²f(x) ＞ 0²f(0) = 0 ,所以 f(x) ＞ 0
（3）x＜0 时,①的两边同乘以x ：2xf(x)+x²f′(x) ＜ x³,即
[x²f(x)]′＜x³＜ 0,所以函数y= x²f(x）是R-上的增函数,又x＜ 0,
故：x²f(x)＞ 0²f(0) = 0 ,所以也有 f(x) ＞0
综上可知,x∈R 时,总有 f(x)＞0
所以选 C
解法二、
选择题也可以这样来做!
把x=0代入 2f(x)+xf′(x)＞x²
由f(0) ＞ 0 即排除选项B和D,
显然 f(x)=x²+a（a＞0）时 已知条件 2f(x)+xf′(x)＞x² 成立,
但f(x)＞x 未必成立,所以C也是错的,故选 C