已知定义在R上的可导函数,f(x)满足2f(x)+xf‘(x)>x²

则下列结论成立的是A.f(x)>xB.f(x)<xC.f(x)>0D.f(x)<0... 则下列结论成立的是
A.f(x)>x B. f(x)<x C.f(x)>0 D.f(x)<0
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解法一、因为 2f(x)+xf′(x)>x² …………①,下面予以讨论:
(1)x= 0时,代入①得:f(0) > 0
(2)x>0 时,①的两边同乘以x :2xf(x)+x²f′(x) > x³ ,即
[x²f(x)]′> x³>0,所以函数y= x²f(x)是R+上的增函数,而x>0,
故:x²f(x) > 0²f(0) = 0 ,所以 f(x) > 0
(3)x<0 时,①的两边同乘以x :2xf(x)+x²f′(x) < x³,即
[x²f(x)]′<x³< 0,所以函数y= x²f(x)是R-上的增函数,又x< 0,
故:x²f(x)> 0²f(0) = 0 ,所以也有 f(x) >0
综上可知,x∈R 时,总有 f(x)>0
所以选 C
解法二、
选择题也可以这样来做!
把x=0代入 2f(x)+xf′(x)>x²
由f(0) > 0 即排除选项B和D,
显然 f(x)=x²+a(a>0)时 已知条件 2f(x)+xf′(x)>x² 成立,
但f(x)>x 未必成立,所以C也是错的,故选 C
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