计算第二型曲面积分ydz^dx+(z+1)dx^dy,,其中为圆柱面x^2+y^2=4被平面x+z=2和z=0所截部分的外侧 10
Σ = Σ1(左侧) + Σ2(右侧)、作zx面上的积分
Σ1：y ≤ 0、y = - √(4 - x^2)
Σ2：y ≥ 0、y = √(4 - x^2)
0 ≤ z ≤ 4
∫∫Σ (- z - 1) dxdy = 0
∫∫Σ1 ydzdx = ∫∫Σ1 - √(4 - x^2)dzdx，左侧
= - ∫∫D1 - √(4 - x^2) dzdx = ∫∫D1 √(4 - x^2) dzdx
= ∫(- 2→2) dx ∫(0→2 - x) √(4 - x^2) dz = 4π
∫∫Σ2 ydzdx = ∫∫Σ1 √(4 - x^2) dzdx，右侧
= ∫∫D2 √(4 - x^2) dzdx
= ∫(- 2→2) dx ∫(0→2 - x) √(4 - x^2) dz = 4π
于是IΣ = 4π + 4π = 8π
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第二类曲面积分。
如果曲面的bai外法向和对应坐标轴的正向一致du，则第二类曲面积分转为重积zhi分时取正号，否则负号。
具体到图中问题，由积分微元dxdy可知需要考察的是与z轴正向的关系（同理，∫∫dydz则考虑与x轴正向的关系），题中指明曲面是下侧，其法向如图中向下箭头所示，显然与z的正方向相反，于是结果取负号。
如图：
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第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。
当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。
同一个曲面可能由几种不同的运动形式形成。如bai圆柱面，即可以看做是直线绕着与之平行的轴线做旋转运动而成，也可以看做是一个圆沿轴向平移而形成的。
平面Σbai1：z + x = 2，取上侧
和平面Σ2：z = 0，取下侧du，围成封闭立zhi体的外侧
∫∫Σ0 ydzdx - (z + 1)dxdy
= ∫∫∫Ω (1 - 1 - 0) dxdydz = 0
∫∫Σ1 ydzdx - (z + 1)dxdy = ∫∫Σ1 (- z - 1)dxdy，上侧
= - ∫∫D (2 - x + 1) dxdy = - 3∫∫D dxdy + 0 = - 12π
∫∫ Σ2 ydzdx - (z + 1)dxdy = ∫∫Σ2 (- z - 1)dxdy，下侧
= - ∫∫D (- 0 - 1) dxdy = ∫∫D dxdy = π * 2^2 = 4π
IΣ + IΣ1 + IΣ2 = IΣ0
IΣ + (- 12π) + (4π) = 0
于是IΣ = 8π
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（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy；
例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号
简单计算一下即可，答案如图所示
