Question

求函数的单调区间和极值

Answer 1

一、求函数的单调区间与极值的步骤

1、没有给出函数定义域的首先求定义域

2、求函数的导数

3、令导数为0求根

4、列表，求出单调区间与极值。

二、范例：求函数f(x)=xlnx的单调区间与极值

解：f(x)的定义域为(0,+∞)

f'(x)=lnx+1

令f'(x)=0得x=1/e

列表：

所以f(x)的单调递减区间为(0,1/e)，单调递增区间为(1/e,+∞)，f(x)极小值=f(1/e)=-1/e，无极大值.

Answer 2

f(x)=x²e^(-x²)
f'(x)=2xe^(-x²)-2x³e^(-x²)=(2x-2x³)e^(-x²)
驻点：x₁=-1,x₂=0,x₃=1
x<-1,f'(x)>0,f(x)单调递增
-1<x<0,f'(x)<0,f(x)单调递减
0<x<1,f'(x)>0,f(x)单调递增
x>1,f'(x)<0,f(x)单调递减
∴f(±1)是极大值=1/e
f(0)是极小值=0
(2)f(x)=(1-x)^(2/3)·(2+x)^(1/3)=(x³-3x+2)^(1/3)
f'(x)=(x²-1)/(x³-3x+2)^(2/3)
驻点：x=±1
x<-1,f'(x)>0 ,f(x)单调递增
-1<x<1,,f'(x)<0 ,f(x)单调递减
x>1,f'(x)>0 ,f(x)单调递增
∴f(-1)是极大值=³√4
f(1)是极小值=0

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