Question

线性代数，证明与对角阵相似问题。图中第一个，为什么可以得到特征值全部为零，不是其中一个为零吗？--

线性代数，证明与对角阵相似问题。图中第一个，为什么可以得到特征值全部为零，不是其中一个为零吗？----------第二个，Ax=0有n-1个线性无关解向量，则对应于特征值＝0的特征向量也是n-1个，如果对应的特征值非零呢？λE-A算是初等变换么，会改变秩么？谢谢回答----Du君你不要来了。。。

Answer 1

先回答你第1个问题。（第1个问题清楚了，第2个问题也就明白一大半了）
设 λ 为 A 的特征值，它对应的特征向量为 x，那么 Ax = λx
所以：A^2 x = A(Ax) = A(λx) = λ(Ax) = λ(λx) = λ^2 x
也就是说：λ^2 是 A^2 的特征值，对应的特征向量也是 x。
同理可继续推得：
λ^3 是 A^3 的特征值，对应的特征向量是 x。
……
λ^k 是 A^k 的特征值，对应的特征向量是 x。
假设 λ ≠ 0，那么：(A^k) x = (λ^k) x
由于 A^k = 0，所以 (A^k) x = 0。
但是 λ ≠ 0，所以 (λ^k) x ≠ 0，矛盾。

关于你的第2个问题。
A 没有非零的特征值，所以当 A 对应于仅有的特征值 λ = 0 的特征子空间只有 <= n-1 维时，A 就不可对角化。