Question

【高数】证明：n→∞时，(ln n)^n/n!→0

【高数】证明：n→∞时，(ln n)^n/n!→0即n趋向于无穷大时，n阶乘分之ln(n)的n次方趋于0

Answer 1

解：
一个非常有用的阶乘不等式：
(n/2)^(n/2) ≤ n！ ≤2·[(n/侍早基2)^n]
因此：
[(lnn)^n]/ 2·[(n/2)^n] ≤ [(lnn)^n]/n！≤ [(lnn)^n]/ [(n/2)^(n/2)]
显睁没然：
2lnn/n <1，即： (2lnn/n)^n →0
√2lnn/√n <1 ，即老谨：(√2lnn/√n)^n →0
（指数性质，y=a^x，0<a<1时，y趋近于0）
又夹逼准则：
原极限=0

追问

非常有用的不等式。。怎么证

追答

如下给出详细证明！
证明：
∵(n/2)≤n-(n/2)<n
n!
=n·(n-1)·.....3·2··1
=n·(n-1)·.....·{n-[(n/2)]}·{n-[(n/2)]-1}·{n-[(n/2)]-2}·.....·3·2··1
≥n·(n-1)·.....·{n-[(n/2)]}
≥{n-[(n/2)]}^{n-[(n/2)]+1}
≥(n/2)^{n-[(n/2)]+1}
≥(n/2)^{[n/2]+1}
≥(n/2)^[n/2]
≥(n/2)^(n/2)
令：
1≤k<n
√k(n-k)≤(k+n-k)/2 = n/2
即：
lnk + ln(n-k) ≤ 2ln(n/2)
∴
ln1+ln(n-1) ≤2ln(n/2)
ln2+ln(n-2) ≤2ln(n/2)
ln3+ln(n-3) ≤2ln(n/2)
....
ln(n-1)+ln1≤2ln(n/2)
2ln(n-1)! ≤2(n-1)ln(n/2)
ln(n-1)!≤(n-1)ln(n/2)
因此：
(n-1)! ≤ (n/2)^(n-1)
(n-1)! ≤[(n/2)^n]/(n/2)=2[(n/2)^n]/n
n(n-1)!≤2[(n/2)^n]
n!≤2[(n/2)^n]
不加分对的起我么？

追问

好复杂哦

Answer 2

这个，用级数判别法。
这个级数收敛，所以无穷时极限0

追问

怎么判

这是级数么

追答

我只是提示你一下，没学过就算了。
你洛必达，泰勒试一试😂😂

追问

这是一项啊，级数是无穷项

n!怎么洛，怎么泰勒

追答

极限收敛法则。
单减，有下限。故极限存在。
趋于无穷，极限0
。。。。

追问

为什么极限是0

单减又怎么证