Question

求曲线y=x|x|/(x^2+x-2)的渐近线

Answer 1

①当x>0时，y=x^2/(x^2+x-2) x^2+x-2=(x+2)(x-1) 故定义域为 (0,1)∪(1,+∞)
lim(x→1-)y=-∞ lim(x→1+)y=+∞ ∴x=1是y的垂直渐近线
lim(x→∞)y=1 ∴y=1是y的水平渐近线
lim(x→∞)(y/x)=lim(x→∞)(x/(x^2+x-2))=0 没有斜渐近线
②当x<0时，y=x^2/(x^2+x-2) x^2+x-2=(x+2)(x-1) 故定义域为 (-∞,-2)∪(2,0)
lim(x→-2-)y=-∞ lim(x→-2+)y=+∞ ∴x=-2是y的垂直渐近线
lim(x→∞)y=-1 ∴y=-1是y的水平渐近线
lim(x→∞)(y/x)=lim(x→∞)(-x/(x^2+x-2))=0 没有斜渐近线
故y的渐近线为x=1或x=-2或y=1或y=-1

追问

但是y=1与曲线相交了！是渐近线吗？

追答

y=1是在x>0时的渐近线 y=-1同理 分情况的

追问

这种题都要分情况？那整个曲线的渐近线是否就只有x=1，x=-2两条？因为x趋于正负无穷的时候极限不相等

追答

综合起来的话就没有y的，只有x=-2或x=1，综合起来y=±1与图像有交点，所以只有垂直渐近线，没水平的了