Question

这两个面积如何用积分去计算？（请写出定积分和二重积分两种做法），写在纸上，万分感谢！

Answer 1

请见下图过程

Answer 2

(1)
所求面积为
S=∫[θ=0,2π]0.5r^2dθ
=∫[θ=0,2π]0.5r^2dθ
=∫[θ=0,2π]0.5(2a(1+cosθ))^2dθ
=0.5*4a^2(6*2π+8sin(2π)+sin(4π))/4
=6πa^2

(2)
因为所考虑的区域关于极轴对称
只算上半部分面积即可

当0≤θ≤π/3时
2cosθ≥1
这部分就是单位圆的扇形
面积：S1=π/6

当π/3≤θ≤π/2时
2cosθ≤1
这部分面积：
S2=∫[θ=π/3,π/2]0.5r^2dθ
=∫[θ=π/3,π/2]2(cosθ)^2dθ
=2(π/2-π/3+0-sin(π/3)cos(π/3))/2
=π/6-√3/4

所求面积为
2S1+2S2=2π/3-√3/2