Question

求答案过程要详细

Answer 1

二阶非齐次微分方程
根据公式做
(1)先求齐次微分方程的通解

y''+y=e^x +cosx
特征方程
r²+1=0
得r=±i
所以Y=C1cosx+C2sinx
(2)再求非齐次微分方程的特解
因为是复合方程
可以将看做
y''+y=e^x
y''+y=cosx
两者复合。
对于y''+y=e^x

设y*=Ae^x
y*''=Ae^x
代入原方程可得
Ae^x+Ae^x=e^x
A=1/2
所以y*=(1/2) e^x
对于y''+y=cosx

设y*=x(Bcosx+Csinx)
y*'=Bcosx+Csinx+x(-Bsinx+Ccosx)
y*''=-Bsinx+Ccosx-Bsinx+Ccosx+x(-Bcosx-Csinx)
=-2Bsinx+2Ccosx+x(-Bcosx-Csinx)
代入原方程y*''+y=cosx
-2Bsinx+2Ccosx+x(-Bcosx-Csinx)+x(Bcosx+Csinx)
=-2Bsinx+2Ccosx
=cosx
可知B=0，C=1/2
所以y*=(1/2) xsinx
综上，
非齐次的通解为
y=C1cosx+C2sinx+(1/2) e^x+(1/2) xsinx