Question

微分方程 第四题 过程要有

Answer 1

xy'+y=yln(xy)
令xy=u,则y=u/x.
y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²,代入原式得：
[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu,化简得du/dx=(u/x)lnu,
分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx；
积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx
即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx
故得lnu=Cx,即u=e^(Cx)
即得通解为y=(1/x)e^(Cx)
【检验：对通解的两边取对数：lny=Cx-lnx；取导数：y'/y=C-1/x；故y'=Cy-(y/x)；
代入原式：左边=Cxy-y+y=Cxy；右边=y(lnx+Cx-lnx)=Cxy；故左边=右边,答案正确.】