Question

设X和Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为fX(x)=1, 0<=x<=1 0,其他 fY(y)=e^-y,y>0 0,其他

求随机变量Z=X+Y的概率密度
22题 想知道积分区域那个上下限

Answer 1

设随机变量X与Y互相独立,其概率密度分别为fX(x),当0≦x≦1时等于1,其他情况为0；
fY(y)：当y>0时,fY(y)=e^(-y),当y≦0,fY(y)=0；求X+Y的概率密度

Answer 2

X与Y互相独立,所以,f(x,y) = fX(x) fY(y) = e^(-y) 0≦x≦1,y>0
=0,其它
令Z=X+Y,因为0≦x≦1,y>0,所以,Z的取值范围为 0 到无穷
Z的分布函数cdf 为 F(z)=∫_(0≦x+y≦z) f(x,y) dxdy
分两种情况：
1.z=1,则 积分区域0≦x+y≦z 对应于 0≦x≦1,0≦y≦z-x,此时
F(z)=∫_(0≦x+y≦z) f(x,y) dxdy = ∫_(0≦x≦1) dx ∫_(0≦y≦z-x) e^(-y) dy
= ∫_(0≦x≦1) [1-e^(x-z)]dx = 1 - e^(1-z) + e^(-z)
所以,cdf F(z) = z - 1 + e^(-z) 当 0