求y''+4y=3sinx的通解
通解为：y=C1cos2x+C2sin2x+sinx。其中C为任意常数。
解析：
特征方程
r^2+4=0，r=±2i.
因r=±i（等号右边的sinx相当于e^ix,即特征根r=i.）不是特征方程根。
齐次方程y''+4y=0的通解为：y=C1cos2x+C2sin2x
设特解为：y=asinx+bcosx
y'=acosx-bsinx；y''=-acosx-bsinx
代入原方程得：-acosx-bsinx+4(asinx+bcosx)=3sinx
比较系数得：a=1,b=2
特解为：y=sinx
所以通解为：y=C1cos2x+C2sin2x+sinx。(其中C为任意常数)
扩展资料：
y''+4y=3sinx属于二阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程分为二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程两种类型。
一、二阶常系数齐次线性微分方程
1、标准形式
y″+py′+qy=0
2、特征方程
r^2+pr+q=0
3、通解
1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
二、二阶常系数非齐次线性微分方程
1、标准形式
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
2、解法
通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)
y*=
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。
参考资料来源：百度百科-二阶常系数线性微分方程
通解为：y=C1cos2x+C2sin2x+sinx。其中C为任意常数。
解析：
特征方程
r^2+4=0，r=±2i.
因r=±i（等号右边的sinx相当于e^ix,即特征根r=i.）不是特征方程根。
齐次方程y''+4y=0的通解为：y=C1cos2x+C2sin2x
设特解为：y=asinx+bcosx
y'=acosx-bsinx；y''=-acosx-bsinx
代入原方程得：-acosx-bsinx+4(asinx+bcosx)=3sinx
比较系数得：a=1,b=2
特解为：y=sinx
所以通解为：y=C1cos2x+C2sin2x+sinx。(其中C为任意常数)
扩展资料：
正弦函数
对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。
单位圆定义
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的y坐标等于 sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sinθ=y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负
对于大于 2π 或小于 0 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为 2π的周期函数。
解答过程：
令r^2+4r=0，解得r1=2i，r2=-2i；
所以齐次微分方程y''+4y=0的通解为y通=Csin2x；
设y''+4y=3sinx的特解为y*=C1sinx+C2cosx；
y*'=C1cosx-C2sinx，y*''=-C1sinx-C2cosx
将y*、y*'和y*''带入y''+4y=3sinx，
得到C1=1，C2=0；
所以y*=sinx；
所以y''+4y=3sinx的通解为y=Csin2x+sinx，其中C为任意常数。
扩展资料：
y''+4y=3sinx属于二阶常系数线性微分方程。二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，它的通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。
参考资料来源：百度百科-非齐次线性微分方程
望采纳。谢谢啦。
请问入=i不是特征方程的根，这一步是为什么
望采纳。谢谢啦。
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