Question

这道数学题如何求二次指定偏导数？

这道数学题如何求二次指定偏导数？第三题第一问

Answer 1

用隐函数求导法
设f=e^z-xyz=0
∂f/∂z=e^z-xy
∂f/∂x=-yz
∂z/∂x=-（∂f/∂x）/（∂f/∂z）
=yz/（e^z-xy）
=yz/（xyz-xy）
=z/x（z-1）
或者
两边求微分。
e^zdz=yzdx十zxdy十xydz
求∂z/∂x时，把y看成常数，dy=0
e^zdz=yzdx十xydz
（e^z-xy）dz=yzdx
∂z/∂x=dz/dx=yz/ （e^z-xy）
与上面一样。

追答

下面进一步对于∂z/∂x，求对x的偏导数，就得到∂²z/∂x²=∂（∂z/∂x）/∂x
有点乱。设p= ∂z/∂x
要求∂p/∂x

p=z/x（z-1）
px（z-1）=z
两边求微分
x（z-1）dp十p（z-1）dx十pxdz=dz
x（z-1）dp十p（z-1）dx=-pxdz十dz
=（1-px）dz
两边除以dx

dz/dx=∂z/∂x=p，代入:
x（z-1）p'十p（z-1）=
=（1-px）p
x（z-1）p'=
=2p-p²x-pz
p'=（ 2p-p²x-pz ）/ x（z-1）

p'=z（2-px-x）/x²（z-1）²
= z（2-z/（z-1）-x）/x²（z-1）²
= z（2 （z-1） -z-x （z-1） ）/x²（z-1）³
= z（2 z-2 -z-x z十x）/x²（z-1）³
= z（z-2 -xz十x）/x²（z-1）³