Question

一道关于反函数的高数题

求解
我要解题过程

Answer 1

解析：求反函数，无特殊方法，无捷径。“三步走” (1) 确定原函数的值域。 (2) 由原函数的表达式，求“x关于y的表达式”。 (3) 交换x和y，附上定义域。一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的 反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。 一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣1（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是 原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"?1"指的并不是幂。在微积分里， f (n)( x)是用来指 f的n次 微分的。若一函数有反函数，此函数便称为 可逆的（invertible）。

Answer 2

解：设2^x=t，∴y=(t²-1)/(1+t²)。∴t²=(1+y)/(1-y)，y∈(-1,1)。
∴2x=ln[(1+y)/(1-y)]。故，其反函数y=(1/2)ln[(1+y)/(1-y)]，其中，x∈(-1,1)。
供参考。

追问

y=(t²-1)/(1+t²)怎么来的

追答

设2^x=t，∴2^(-x)=1/t。∴y=(t-1/t)/(t+1/t)=(t²-1)/(1+t²)。

追问

原函数值域怎么求出来的，就是-1到1