Question

求幂级数的收敛域。

Answer 1

收敛半径 R = lim<n→∞>a<n>/a<n+1> = lim<n→∞>n/(n+1) = 1

x = ±1 时均发散，收敛域 -1 < x < 1.

S(x) = ∑<n=1,∞>nx^n = ∑<n=1,∞>(n+1)x^n - ∑<n=1,∞>x^n

= [∑<n=1,∞>x^(n+1)]' - ∑<n=1,∞>x^n

= [x^2/(1-x)]' - x/(1-x) = (2x-x^2)/(1-x)^2 - (x-x^2)/(1-x)^2 = x/(1-x)^2

x = 1/2 时 得 S(1/2) = ∑<n=1,∞>n/2^n = (1/2)/(1/2)^2 = 2

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

如图所示：