Question

大一数学分析证明，哪位大神能解答一下

Answer 1

(1)当I=[a,b]时,设f(x)在I上无界

将I二等分,考虑闭区间[a,(a+b)/2]和[(a+b)/2,b],f(x)必然在其中一个闭区间上无界(还有可能在两个闭区间上都无界).把无界的那个闭区间设为I1=[a1,b1]
继续二等分,把f(x)无界的闭区间设为I2=[a2,b2],以此类推...则得到闭区间套{In}
根据闭区间套定理,存在唯一实数ξ∈[an,bn]⊆[a,b],且由闭区间套定理的推论,对任意E>0,区间(ξ-E,ξ+E)上有该闭区间套的无数个区间,即对任意E>0,在区间(ξ-E,ξ+E)上f(x)无界
但ξ∈[a,b]=I,由已知条件,存在δ>0,在(ξ-δ,ξ+δ)∩I上f(x)有界,矛盾.
∴f(x)在I上有界
(2)I是开区间时f(x)不一定有界
例如f(x)=1/x,I=(0,1),对于任意x∈(0,1),总是存在δ∈(0,x),在区间(x-δ,x+δ)⊂(0,1)上f(x)有界(且上确界为1/(x-δ),下确界为1/(x+δ)),但f(x)在I上无界

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谢谢

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