Question

证明一个线性方程组增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1

Answer 1

显然系数矩阵的列向量，都是增广矩阵的列向量，因此
他们公共部分的列向量，是相同的列向量组，秩相等。
但因为增广矩阵的列向量，比系数矩阵多1个列向量。
如果这个多出来的列向量，不能被左侧的列向量组线性表示，则
增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩+1
否则（这个多出来的列向量，可以被左侧的列向量组线性表示），两者秩相等。

Answer 2

设系数矩阵由A1,A2,……，An共n个列向量组成，则其增广矩阵必由A1,A2,……，An，B共n+1个列向量组成。
若系数矩阵的秩为r,则必存在r个向量Ar1,Ar2,...,Arr线性无关,而A1,A2,……，An都是他们的线性组合。若Ar1,Ar2,...,Arr，B线性无关,则增广矩阵的秩为r+1;若Ar1,Ar2,...,Arr，B线性相关，则增广矩阵的秩为r。从而一个线性方程组的增广矩阵的秩比其系数矩阵的秩相最多大1。