Question

复变函数(1+z)^5=(1-z)^5的解为多少？

Answer 1

因为(1+z)^5＝(1-z)^5，

1不是方程的解，所以两边可以同时除以

(1-z)^5，

得到(1+z)^5/(1-z)^5＝1，

也就是[(1+z)/(1-z)]^5＝1，

接下来解这个方程用到了单位根的知识

所以对于方程z^5＝1，在复数范围内有五个解，e^(i·2kπ/5)，其中k＝0，1，2，3，4，在复平面内就是一个正五边形的顶点，而且顶点都在单位圆上，

所以(1+z)/(1-z)＝e^(i·2kπ/5)，其中k＝0，1，2，3，4，解这个方程即可，

1+z＝e^(i·2kπ/5)-z·e^(i·2kπ/5)，

这个方程的解是z＝(e^(i·2kπ/5)-1)/(e^(i·2kπ/5)+1)，其中k＝0，1，2，3，4

Answer 2

(1+z)^5 = (1-z)^5
1+ 5z + 10z² + 10z³ + 5z⁴ + z^5 = 1 - 5z + 10z² - 10z³ + 5z⁴ - z^5
5z + 10z³ + z^5 = -5z - 10z³ - z^5
10z + 20z³ + 2z^5 = 0
2z * ( z⁴ + 10z² + 5 ) = 0
z=0 为一个解。另四个解由方程
z⁴ + 10z² + 5 = 0 解出，得
z² = -5±2√5
z = ±√（-5±2√5） = ±√（5±2√5）i