Question

数学三角函数问题

f(x)=cos(x)-cos³(x) (x∈(0,π/2))
第一种方法:
设cos(x)=t (t∈(0,1))
f(t)=t-t³
f'(t)=1-3t²
故在(0,√(3)/3)单增
在(√(3)/3,1)单减
cos(x)=√(3)/3为极大值

第二种方法:
f'(x)=sin(x)(3cos²(x)-1)
故cos(x)∈(0,√(3)/3)单减
cos(x)∈(√(3)/3,1)单增
cos(x)=√(3)/3为极小值

为什么两种方法结果不一样
第一种是对的
第二种具体错在哪

Answer 1

LZ您好
您第二种做法为何自变量是cos x而不是x？！？！
讨论单调性当然自变量应该是x？！
当你以cos x作为自变量，这就相当于自己加了一层单调递减的内层函数u=cos x
根据复合函数同增异减特性，原来函数的单调性当然被你全部颠倒了

Answer 2

楼主，你无论哪个做法，既然将cosx换成t，那么也应该将f(x)中的x换成arccost才对，这样求导出来才合理。不然f(x)=cosx-cos³x，凭什么就能换成f(t)=t-t³？这两个式子完全不等价。

Answer 3

第二个，cosx 在0到三分之根号3之间时，导数的结果是大于0的，怎么会递减呢？

追答

cosx 在0到二分之派之间是减函数，所以cosx在0到三分之根号3之间时，你导数的后半部分是大于0的。sin也是正的。导数大于0是增函数。

Answer 4

貌似是今年全国卷
换元t=tan（x/2）
不等式最值

Answer 5

这个是高一数学必修四内容，难度很大

追问

？？