Question

y''+y'^2=1

Answer 1

令g=g(x)=y',则原式得
g'+g^2=1
dg/dx=1-g^2
分离变量得
dg/(1-g^2)=dx
两边同时积分得
0.5ln((g+1)/(g-1))=x+C0
显化后就可以得到
g=y'的表达式
再积一次分就可以了
注意最后二阶微分方程有两个常数

Answer 2

令p=y'，则p'=y''
p'+p^2=1
dp/(1-p^2)=dx
∫dp/(1+p)(1-p)=∫dx
ln|1+p|-ln|1-p|=2x+C1
(1+p)/(1-p)=C1*e^(2x)
2/(1-p)=C1*e^(2x)+1
1-p=2/[C1*e^(2x)+1]
p=1-2/[C1*e^(2x)+1]
y'=1-2/[C1*e^(2x)+1]
y=x-∫2/[C1*e^(2x)+1]dx
y=x-∫2e^(2x)/[C1*e^(4x)+e^(2x)]dx
y=x-∫d[e^(2x)]/[C1*e^(2x)+1]e^(2x)
y=x-∫{1/e^(2x)-C1/[C1*e^(2x)+1]}d[e^(2x)]
y=x-ln[e^(2x)]+ln[C1*e^(2x)+1]+C2
y=ln[C1*e^(2x)+1]-x+C2，其中C1,C2是任意常数