Question

求微分方程(1+y^2)y''=2yy'^2的通解

大佬帮助一下，很急！！！！

Answer 1

令p=y’，则y”=p（dp/dy）,于是，方程化为(1+y^2)p(dp/dy)=2yp^2.
分离变量，dp/p=(2y/(1+y^2))dy.
两边分别积分，得
ln p=ln(1+y^2)+lnC1,
即 dy/dx=C1(1+y^2).
再分离变量，得 dy/(1+y^2)=C1dx
两边分别积分，得
arctan y=C1x+ C2,其中C1，C2是任意常数。
这就是通解，或者写成
y=tan(C1x+C2)。