Question

高二数学椭圆题

Answer 1

1.显然A，B两点只可能是椭圆的长轴顶点或短轴顶点
当为长轴顶点时，设方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
显然a=2
再由C在椭圆上，解之b²=3
此时方程为x²/4+y²/3=1
当为短轴顶点时，设方程为y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)
显然b=2
再由C在椭圆上，解之a²=3
显然不合题意
故椭圆方程为x²/4+y²/3=1
2.设△DFH内切圆的半径为r,D的坐标为（m，n）
由面积相等得：
1/2(DF+FH+HD)r=1/2FH*|n|
由椭圆定义：DF+FH+HD=2a+2c为定值
故当|n|最大时，r最大
r=FH*|n|/(DF+FH+HD)=2*√3/6=√3/3
显然，当D在短轴顶点时r最大
此时△DFH为等腰三角形
故内切圆圆心在y轴上
这样内切圆圆心坐标为（0，±√3/3）
3.设M（x1，y1）N（x2，y2）
联立y=k（x-1）与x²/4+y²/3=1得：
3x²+4k²（x-1）²-12=0
整理得：
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
由韦达定理：
x1+x2=4k²/(4k²+3)
x1*x2=(4k²-12)/(4k²+3)
由两点式写出AM,BN的方程
AM：y/(x+2)=y1/(x1+2)
BN：y/(x-2)=y2/(x2-2)
联立解出交点横坐标：
(x-2)/(x+2)=[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]①
因M，N在l上
故：y1=k（x1-1）y2=k（x2-1）
带入①式
[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]
=[(x2-2)k（x1-1）]/[(x1+2)k（x2-1）]
=[(x2-2)（x1-1）]/[(x1+2)（x2-1）]
=[x1x2-2x1-x2+2]/[x1x2-x1+2x2-2]
=[x1x2-(x1+x2)-x1+2]/[x1x2+2(x1+x2)-3x1-2]
=1/3
即(x-2)/(x+2)=1/3
解之x=4
故直线AM与BN的交点在直线x=4上

Answer 2

解：椭圆x
2
/16
+
y
2
/4
=
1内一点M(2，1)，直线l过点M与椭圆交于点A，B，点M为AB中点，所以直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y
=
k(x
–
2)+
1，与椭圆方程联立可得，x
2
+
4(kx
–
2k
+
1)
2
=
16
=>
(4k
2
+
1)x
2
+
8k(1
–
2k)x
+
4(1
–
2k)
2
–
16
=
0，设点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，由韦达定理可得x
1
+
x
2
=
-8k(1
–
2k)/(4k
2
+
1)，而AB中点M的坐标为(x
1
+
x
2
)/2
=
2
=>
4k(2k
–
1)/(4k
2
+
1)
=
2
=>
2k(2k
–
1)
=
4k
2
+
1
=>
-2k
=
1
=>
k
=
-1/2
=>
直线l的方程为
y
–
1
=
(-1/2)(x
–
2)
。

Answer 3

应该是等于1吧。
把式子转化成x^2+y^2/
(5/K)=1
因为焦点是（0,2）对吧，所以c=2
题目没说焦点位于什么轴上。那就分情况讨论：
当a^2=1，则b^2=a^2-c^2=1-4=-3不符合，舍去这种情况
所以剩下一种情况就是
a^2=5/K
所以b^2=5/K-4=1
所以K=1