Question

总结线性代数中求可逆矩阵的方法

Answer 1

-----------首先你要了解初等变换。------------------
初等变换就3种。
1.
e12
就是吧12行（列）互换
2.
e12(k)就是把第1行（列）的k倍加到第2（行）
3.
e1（k）就是把第1行都乘上k
----------------------------------然后了解如何化最简型--------------------------------------
怎样化行最简：
这个其实很简单，一步一步来不要话错了就行了。无非就是要化成阶梯形，然后再把阶梯开头的元素化为1，他头顶上的元素化为0嘛
比如一个4阶矩阵。
首先你要把第一列，除了第一个元素都化成0。那么显然，就是用第二行，第三行，第四行，去减第一行的k倍。假设。第一行是（1,2,3,4）第二行第一个元素是3，那么你用第二行减去第一行的3倍的话，头一个元素不就肯定是0了吗。然后假设第三行第一个元素是4，那么就是第三行减去第一行的4倍。同理第四行也是一样的。此时你只要关注第一列的元素就行了，全力把他们化为0。等到完成的时候，矩阵就变成
1
2
3
4
0
*
*
*
0
*
*
*
0
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*
*
这样就出来一个阶梯了对吧。
下面就是重复上面的工作。不过。不要在整个矩阵里面进行了，因为如果你带着第一行算的话，前面的0就肯定会被破坏了。下面你就直接在*
的那个3阶矩阵里面进行。把原来的第二行
0
*
*
*当作第一行来化下面的，
完工之后就是
1
2
3
4
0
*
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*
0
0
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*
0
0
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*
不就又出来一个阶梯吗。
反复这么做最后就化成
1
2
3
4
0
*
*
*
0
0
*
*
0
0
0
*
这个就是阶梯形了吧。。
然后化最简形就很简单了。用初等变化的第3条。显然我们可以吧最后一行的那个*除以他自己变成1
1
2
3
4
0
*
*
4
0
0
*
4
0
0
0
1
然后他头上的数，不论是多少都可以写成0，因为不论是多少，总可以化为0吧，如果是2012，就减去第四行的2012倍嘛，反正第四行只有一个1，前面都是0，怎么减都不会影响到前面的行
这样就化成了
1
2
3
0
0
*
*
0
0
0
*
0
0
0
0
1
很显然，重复上面的过程就可以了，现在只要把第三行的那个*，除以自己，变成1，然后他头上的也就全可以化为0了
1
2
0
0
0
*
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
再来一次。就ok了嘛
-----------------------------------------------初等变换求逆矩阵--------------------------------------------
比如你求a的逆矩阵，就是把a的右边拼上一个同阶的单位阵变成（a|e）
1
2
3
1
0
0
4
5
6
0
1
0
7
8
9
0
0
1
然后把这个矩阵当作新的矩阵，然后就把左面那个部分化成单位阵（方法就是化最简型嘛），当你把左面的部分化成单位阵之后，右边就自动是a的逆矩阵了
（e|a逆）
就是这样。嗯
----------------------------------

Answer 2

初等变换就3种.
1.
E12
就是吧12行（列）互换
2.
E12(K)就是把第1行（列）的K倍加到第2（行）
3.
E1（K）就是把第1行都乘上K
----------------------------------然后了解如何化最简型--------------------------------------
怎样化行最简：
这个其实很简单,一步一步来不要话错了就行了.无非就是要化成阶梯形,然后再把阶梯开头的元素化为1,他头顶上的元素化为0嘛
比如一个4阶矩阵.
首先你要把第一列,除了第一个元素都化成0.那么显然,就是用第二行,第三行,第四行,去减第一行的k倍.假设.第一行是（1,2,3,4）第二行第一个元素是3,那么你用第二行减去第一行的3倍的话,头一个元素不就肯定是0了吗.然后假设第三行第一个元素是4,那么就是第三行减去第一行的4倍.同理第四行也是一样的.此时你只要关注第一列的元素就行了,全力把他们化为0.等到完成的时候,矩阵就变成
1
2
3
4
0
*
*
*
0
*
*
*
0
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这样就出来一个阶梯了对吧.
下面就是重复上面的工作.不过.不要在整个矩阵里面进行了,因为如果你带着第一行算的话,前面的0就肯定会被破坏了.下面你就直接在*
的那个3阶矩阵里面进行.把原来的第二行
0
*
*
*当作第一行来化下面的,
完工之后就是
1
2
3
4
0
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0
0
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0
0
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*
不就又出来一个阶梯吗.
反复这么做最后就化成
1
2
3
4
0
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0
0
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0
0
0
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这个就是阶梯形了吧.
然后化最简形就很简单了.用初等变化的第3条.显然我们可以吧最后一行的那个*除以他自己变成1
1
2
3
4
0
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4
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4
0
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0
1
然后他头上的数,不论是多少都可以写成0,因为不论是多少,总可以化为0吧,如果是2012,就减去第四行的2012倍嘛,反正第四行只有一个1,前面都是0,怎么减都不会影响到前面的行
这样就化成了
1
2
3
0
0
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0
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0
0
0
0
1
很显然,重复上面的过程就可以了,现在只要把第三行的那个*,除以自己,变成1,然后他头上的也就全可以化为0了

Answer 3

【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn
【解答】
|A|=1×2×...×n=
n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。
则
Aα
=
λα
那么
(A²-A)α
=
A²α
-
Aα
=
λ²α
-
λα
=
(λ²-λ)α
所以A²-A的特征值为
λ²-λ，对应的特征向量为α
A²-A的特征值为
0
，2，6，...，n²-n
【评注】
对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

Answer 4

1.Gauss消去法(LU)
2.正交消去法(QR)
3.古典迭代法(Jacobi,Gauss-Sedel,SOR,HSS,Richardson...)
4.Krylov子空间方法(CG,GMRES,MinRES,BiCG,...)
5.Sherman-Morrison公式
6.Cramer法则
7.Bezout消去法
……
自己看情况选吧，每种方法都有适用的场合。