Question

数学数列证明题

Answer 1

必要性是显然的。
证充分性：原数列为A1,A2,...A(2n+1).取出第i项
剩下2n项分成2组
使得2组的和相等
则构造一个列向量Xi
有Xi第i个分量是0
，其他的分量k，如果k项在第1组，则是是1，在第二组则是-1.令矩阵
B=（X1,X2...X（2n+1))
则B的对角元为0，其他元素是1或-1.
令A=（A1,A2...A(2n+1))则
AB=0则A为B的特征值为0的特征向量
又设B的特征多项式为
F（X)
则F(X)模2约化为
E(X）
由于F是首一的
所以
E中因子X的重数>=F中因子X的重数
又E为
A模2约化后的特征多项式。
A模2约化后
除对角元为0
其他元都为1.则
F=DET(X-A)=(X-2n-1+1)(X+1)^(2n)=X(X+1)^(2n)
所以
F中因子X的重数为1，所以E中因子X的重数<=1所以B的特征0的子空间的维数<=1
又（1，1。。。1）B=0
所以
（1，1。。。1）与A属于B的特征0的子空间，所以线性相关，所以A的所有分量相等，即数列为常数。
好像也有不用矩阵的证明，任何整数数列如果满足这个条件则，则每项同时加上一个常数也满足条件（而且常数列当且仅当减了之后是常数列），所以不妨设A1=0，又若数列中每个都是偶数，则同时除2也满足条件，所以若不全为0，我们可以除充分多次2，使一个元素是奇数，则不妨设则个元素是A2。若所有数的和是奇数，则除去A1，其他项和是奇数矛盾，若所有和是偶数，则除去A2后，其他和式奇数，矛盾。所以若A1=0则全为0，所以数列为常数