Question

如何证明两条平行线和同一个平面所成的角相等？（不复制网页）

Answer 1

证明:设两平行线为a,b,平面为α.
(1)a,b都平行于α或都在α内,或一条与α平行,另一条在α内时,则a,b和α所成的角都等于0°,所以相等;
(2)a,b都和α垂直,则a,b和α所成的角都等于90°,所以相等;
(3)a,b和α斜交.设a∩α=A,b∩α=B,在a,b上分别取点C,D,使C,D在α的同侧,作CE⊥α于E,DF⊥α于F,则CE‖DF,连结AE,BF,则直线AE,BF分别是a,b在α内的射影,所以∠CAE,∠DBF分别是a,b和α所成的角.
∵a‖b,CE‖DF,且∠ACE和∠BDF的方向相同,
∴∠ACE=∠BDF,∴∠CAE=∠DBF,即斜线a,b和α所成的角相等.
综上讨论得:两条平行线和同一平面所成的角相等.
策略:两条平行线和平面有不同的位置关系,应按各种情况分别证明.
证明:设两平行线为a,b,平面为α.
(1)a,b都平行于α或都在α内,或一条与α平行,另一条在α内时,则a,b和α所成的角都等于0°,所以相等;
(2)a,b都和α垂直,则a,b和α所成的角都等于90°,所以相等;
(3)a,b和α斜交.设a∩α=A,b∩α=B,在a,b上分别取点C,D,使C,D在α的同侧,作CE⊥α于E,DF⊥α于F,则CE‖DF,连结AE,BF,则直线AE,BF分别是a,b在α内的射影,所以∠CAE,∠DBF分别是a,b和α所成的角.
∵a‖b,CE‖DF,且∠ACE和∠BDF的方向相同,
∴∠ACE=∠BDF,∴∠CAE=∠DBF,即斜线a,b和α所成的角相等.
综上讨论得:两条平行线和同一平面所成的角相等.