Question

已知抛物线y=ax2+bx+c经过（-1,0），（0，-3），（2，-3）三点

Answer 1

待定系数法得抛物线方程y=x²-4x+3；
（2）a、b点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接bc，那么bc与直线l的交点即为符合条件的p点．
连接bc，直线bc与直线l的交点为p；
设直线bc的解析式为y＝kx＋b，将b(3，0)，c(0，3)代入上式，得：0＝3k+b,3=0+b
，解得：k=-1,b=3
∴直线bc的函数关系式y＝－x＋3；
当x=2时，y＝1，即p的坐标(2，1)．
(3)
先令n=m²-2m-2，则直线方程为y=2x+n；
将直线方程代入抛物线方程，消去y，得x²-6x+3-n=0，δ=36-4(3-n)>0，n>-6；
设m，n的横坐标分别为x1，x2，则有x1+x2=6，x1*x2=3-n；
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|mn|=√1+2²
|x2-x1|=√5*√(x1+x2)²-4x1*x2
=2√5*√n+6
=2√5*√m²-2m+4=2√5*√(m-1)²+3
当m=-1时，|mn|有最小值，此时n=-3>-6满足前提条件，因此|mn|=2√15.
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