Question

求助！泰勒公式与泰勒级数有什么区别和联系？

Answer 1

一、含义不同：

泰勒公式的最后有个无穷小量，比如e^x=1+x+o(x)，这个无穷小量只有在x趋近于x0时才能是无穷小（假设函数在x0附近展开，比如上面的例子是把e^x在0的附近展开）。

幂级数从定义看是个函数项级数，求级数的过程是先求前n项和，再对n趋于无穷求极限。求极限之后的展开式只要在收敛半径内都是成立的。

二、表示不同：

两个式子都是极限式，泰勒公式要求x→x0，幂级数要求n→∞。一般情况下见到的幂级数都是在0处展开的，但是也存在在x0处展开的幂级数。

三、联系：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等，另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理。

f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间。泰勒就这么“随意”地1、2、3、以致无穷地问了下去，就诞生了泰勒公式，进而诞生了泰勒级数的一整套知识系列。

几何意义

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。

(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。

(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。

(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。

(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

Answer 2

LS说的也不尽然
我刚看完全书极限部分的第二遍
我发现
计算极限的时候
后面的答案说的都是
“由泰勒公式得···”
其实
完全不用理会
直接把常见的五个泰勒级数给记下来就行了
甚至证明题
能用到泰勒公式得地方
我发现几乎都可以用泰勒级数解决
所有只要不考你泰勒公式的证明
基本级数部分的五个公式就够了
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Answer 3

虽然两者形式相似，但是是完全不同的概念，这个要回到定义里面。
泰勒公式的最后有个无穷小量，比如e^x=1+x+o(x)，这个无穷小量只有在x趋近于x0时才能是无穷小（假设函数在x0附近展开，比如上面的例子是把e^x在0的附近展开）。至于需要展开几项在数学上是随意的，实际应用的时候跟需要的近似计算的精度有关系。
幂级数从定义看是个函数项级数，求级数的过程是先求前n项和，再对n趋于无穷求极限。求极限之后的展开式只要在收敛半径内都是成立的。比如e^x=1+x+...这个展开式在整个实数轴（或者说整个复平面）上都是成立的。
也就是说两个式子都是极限式，泰勒公式要求x→x0，幂级数要求n→∞。
（当然一般情况下见到的幂级数都是在0处展开的，但是也存在在x0处展开的幂级数，所以这儿不是区别。）