Question

若正数x、y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是多少 求解，谢谢

Answer 1

解法一：判别式法：
正数x和y满足：x+3y=5xy>=2√(x*3y)=2√(3xy)
5√(xy)>=2√3
xy>=12/25
设3x+4y=k>=√(12xy)>=√12*2√3/5=12/5
则y=(k-3x)/4代入得：
x+3(k-3x)/4=5x(k-3x)/4
整理：
4x+3k-9x=5kx-15x^2
15x^2-5(k+1)x+3k=0
方程有解：
判别式=[-5(k+1)]^2-4*15*(3k)>=0
所以：25(k^2+2k+1)-180k>=0
5k^2+10k+5-36k>=0
5k^2-26k+5>=0
(5k-1)(k-5)>=0
k>=5或者k<=1/5
综上所述，k>=5
所以：3x+4y最小值为5
解法二：对勾函数性质
x+3y=5xy>0两边同除以5xy有：
1/(5y)+3/(5x)=1
所以：
3x+4y
=(3x+4y)*(1/y+3/x)/5
=(1/5)(3x/y+9+4+12y/x)
=(1/5)[13+3(x/y+4y/x)]
>=(1/5)*[13+3*2√4]
=(1/5)*25
=5
所以：3x+4y最小值为5