Question

设f(x)在x=0处存在二阶导数,且lim(x→0)(xf(x)-ln(1+x)...

设f(x)在x=0处存在二阶导数,且lim(x→0)(xf(x)-ln(1+x))/x^3=1/3求f(0),f'(0),f"(0)

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

用洛必达法则做了一下,比较麻烦,还是泰勒公式简单一些ln(1+x)=x-(1/2)x²+(1/3)x³+o(x³)f(x)=f(0)+f
'(0)x+(1/2!)f
''(0)x²+o(x²)则：xf(x)=f(0)x+f
'(0)x²+(1/2!)f
''(0)x³+o(x³)分子为：xf(x)-ln(1+x)=[f(0)-1]x+[f
'(0)+(1/2)]x²+[(1/2)f
''(0)-(1/3)]x³+o(x³)分母为：x³最终结果为1/3因此分子没有一次项：f(0)=1分子没有二次项：f
'(0)=-1/2分子三次项系数为1/3：(1/2)f
''(0)-(1/3)=1/3,则f
''(0)=4/3