Question

已知函数f(x)=x³+ax²-2x+5 （1）求证：函数f‘(x)在(-1,1)上至少有一个零点

（2）是否存在正整数a，使得f(x)在（-3,1/6）上必为单调函数？若存在，试求出值，若不存在，请说明理由 各种急，在线等，麻烦8:00前有答案！！

Answer 1

1.f‘(x）=3x^2+2ax-2
当x=根号
2/3和x=
-根号
2/3时，函数异号
所以函数f‘(x)在(-1,1)上至少有一个零点
2.我说个大致步骤吧
f‘(x）=3x^2+2ax-2
函数f‘(x）连续
当f(x)在（-3,1/6）上必为单调递增时
f‘(x）=3x^2+2ax-2在（-3,1/6）上>0
当f(x)在（-3,1/6）上必为单调递减时
f‘(x）=3x^2+2ax-2在（-3,1/6）上<0
这样就可以求出a

Answer 2

解：（1）
f'(x)=3x²+2ax-2
f'(0)=-2<0
f'(1)=1+2a
f'(0)=1-2a
若f'(1)<0且f(-1)<0则a<-1/2且a>1/2,这显然是不可能的。
所以，f'(1)和f'(-1)中至少有一个大于0
所以，函数f‘(x)在(-1,1)上至少有一个零点。
（2）
f(x)在（-3,1/6）上单当且仅当不变号。f'(x)=3x²+2ax-2在（-3,1/6）上
因f'(0)=-2<0,所以，f'(x)=3x²+2ax-2<=0在（-3,1/6）上恒成立。
所以，当-3<x<0时，2a>=2/x-3x恒成立，所以a>=25/6.
当0<x<1/6时，2a<=2/x-3x恒成立，所以a<=23/6.
由于不存在满足a>=25/6且a<=23/6的实数a,
所以，不存在正整数a，使得f(x)在（-3,1/6）上为单调函数？