几何题求解，请勿使用三角函数？见图
本题过程较为复杂，基本原理是运用四点共圆。因此证明前需要铺垫两步结论（图1与图2部分，本部分过程尽量简化）。
如图1所示：“证明BI=FI”。抛开原题部分连线及交点。AC上取一点I，使∠IBC=30°，AB上取一点F，使∠FCB=60°，FH∥BC交AC于H。∵∠FCB=60°，FH∥BC，可得△BJC及△FJH均为等边三角形。∵∠IBC=30°，∠FCB=60°，∴FC⊥BI，即BI为等边△BJC的高。则IJ=IC，则∠IJC=∠ICJ=∠C-60°=20°，∴∠HIJ=40°。而在△BHC中，∠HBC=60°，∠C=80°，∴∠BHC=40°。则∠BHC=∠HIJ=40°，∴JH=JI。而△BJC为等边三角形，∴FJ=JH=JI，∴∠JFI=½∠IJC=½∠ICJ=10°。这样，在△FIB中，∠BFI=∠BFC+10°=50°，而∠FBI=∠B-30°=50°，∴BI=FI。
如图2所示：“证明∠AFD=55°”。还原原图连线及交点。作BG⊥DB，交AC延长线于G。∠GBC=65°，∠ECB=25°，则BD⊥EC，∴EC∥BG，则∠G=55°。而∠IBC=80°-50°=30°，且∠CBG=25°，∴∠IBG=55°，∴IB=IG。在△DBC中，∠DBC=65°，∠DCB=80°，∴∠BDC=35°。而∠DBI=65°-∠IBC=35°，∴ID=IB，这样，结合结论1，ID=IB=IG=IF，即IF=ID，△IFD为等腰三角形，∠FID=180°-∠FIB-∠BIG，而△FIB和△BIG均为等腰三角形，且∠FIB和∠BIG均为各自顶角，则∠FID=180°-∠FIB-∠BIG=180°-80°-70°=30°，则∠IFD=75°，这样，∠DFB=125°（或在四边形DFBG中，对角∠DFB和∠G互补，则D、F、B、G四点共圆），∠AFD=55°。
如图3所示：在四边形DFEC中，∠DCE=55°，而∠AFD=55°，∴D、F、E、C四点共圆，则∠EFC与∠EDC对应公共弦EC，则∠EFC=∠EDC，而在△BFC中，可知∠EFC=40°，∴∠EDC=40°，∴∠BDE=∠EDC-∠BDI（∠BDC）=40°-35°=5°。
（写了一宿）
