Question

一一下丫一∮ⅰ::

一个复变函数积分的问题!请各位大侠看看
1.计算积分∫(L)|z|dz,其中曲线L是：（1）连接-1到1的直线段,（2）连接-1到1,中心在原点的上半圆周.(3)连接-1到1,中心在原点的的下半圆周.
计算结果：
(1)题答案为1,(2)题答案为2,(3)题答案为2
我想问的是,被积函数|z|为基本初等函数,在复平面上处处解析,由柯西定理,沿任意路径L的积分只与起点和终点有关,而与路径无关,那么上面三个小问结果应该一样才对吧?
为什么算出来结果不是一样的啊?

Answer 1

原因是
"被积函数|z|为基本初等函数,在复平面上处处解析"
这句话不对.
一种想法是,|z|^2=z*z共轭
第二个是不满足柯西黎曼条件
偏v偏任何都是0
但是偏u偏任何都不是0
所以不是在复平面上处处解析
其次由刘维尔定理,只有常值函数才在全复平面解析