Question

设点F1，F2分别是椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点．...

设点F1，F2分别是椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点． （1）求数量积PF1•PF2的取值范围； （2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意，可求得F1（-1，0），F2（1，0）．
设P（x，y），则有F1P=(x+1，y)，F2P=(x-1，y)，
PF1•PF2=x2+y2-1=12x2，x∈[-2，2]，
∴PF1•PF2∈[0，1]．
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入x22+y2=1，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，（*）
∵直线AB过椭圆的左焦点F1，∴方程*有两个不相等的实根．
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0），则x1+x2=-4k22k2+1，x0=-2k22k2+1，y0=k2k2+1．
线段AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-1k(x-x0)．
令y=0，则xG=x0+ky0=-2k22k2+1+k22k2+1=-k22k2+1=-12+14k2+2．
∵k≠0，∴-12＜xG＜0．即点G横坐标的取值范围为(-12，0)．