Question

讨论下列函数项级数的一致收敛性？

(1) ∑nx^2 e^(-nx)
(3)∑x^a e^(-nx^2 )





Answer 1

级数收敛，就是第n+1项除以第n项的绝对值小于1。且n趋向于无穷大

Answer 2

(1)。对任意 δ>0,  x∈[δ,  +∞）

0<an=nx^2/e^(nx)

=nx^2/[1+nx+(nx)^2/2!+…+(nx)^k/k!+…]

<6nx^2/(nx)^3 (只取第 4 项)

=6/(x*n^2)<= 6/(δ*n^2 )

原级数一致收敛，但在 (0,  +∞）内未必一致收敛

(3). 对任意 δ>0,  |x|∈[δ,  +∞）

∑x^a e^(-nx^2 ) = x^a*∑1/e^(nx^2 )

= x^a*∑1/[1+nx^2+(nx^2)^2/2!+…+(nx^2)^n/n!+…]

<= x^a*∑1/[(nx^2)^2/2!]  (只取第 3 项) 

原级数一致收敛，但在 R 上未必一致收敛

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