Question

正态分布的问题？

如果x服从正态分布N(u,δ^2)，为什么x
的均值服从正态分布（u,δ^2/n），有没有大佬可以详细解释一下，谢谢

Answer 1

这是由中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）所导致的。
中心极限定理是指，在相互独立的随机变量之和的分布中，随着样本量的增加，该和的分布会趋近于正态分布。特别地，当样本量足够大时，即使随机变量本身并不服从正态分布，其和的分布也会趋近于正态分布。
在这个问题中，我们假设x服从正态分布N(u,δ^2)，并且抽取n个独立的样本，那么这n个样本的均值X的数学期望为u，方差为δ^2/n。根据中心极限定理，当样本量n足够大时，样本均值X的分布会趋近于正态分布N(u,δ^2/n)。
直观地理解，我们可以将样本的均值看作是所有样本的平均水平，而每个样本的取值相当于“噪声”。当样本量足够大时，这些“噪声”会相互抵消，留下来的就是样本均值的真实分布，而正态分布是自然界中常见的分布，因此样本均值的分布也趋近于正态分布。
总之，中心极限定理提供了一个通用的方法，即使在不知道具体分布的情况下，也可以使用正态分布近似分析随机变量的分布。

Answer 2

由于x服从正态分布，其均值也是服从正态分布的。每个x都是独立的，所以在计算一组样本x的均值时，其变动大小会随着x 的不同而变化，具体而言，样本均值的方差δ^2/n比x 的方差更小，这也就意味着均值的概率密度更高，即均值也服从正态分布（u,δ^2/n）。